CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN ELIPS

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN ELIPS

1.  Di Washington D.C., terdapat taman Ellipse yang terletak di antara Gedung Putih dan Monumen Washington. Taman tersebut dikelilingi oleh suatu jalan yang berbentuk elips dengan panjang sumbu mayor dan minornya secara berturut-turut adalah 458 meter dan 390 meter. Apabila pengelola taman tersebut ingin membangun air mancur pada masing-masing fokus taman tersebut, tentukan jarak antara air mancur tersebut.

Pembahasan:

 Karena panjang dari sumbu mayornya 2p = 458 maka kita peroleh p = 458/2 = 229 dan p² = 229² = 52.441. Sedangkan panjang sumbu minornya 2q = 390, sehingga q = 390/2 = 195 dan q² = 195² = 38.025. Untuk menentukan f, kita dapat menggunakan persamaan fokus.

Jadi, jarak antara kedua air mancur tersebut adalah 2(120) = 240 meter.

2.  Litotripsi merupakan suatu prosedur medis yang dilakukan untuk menghancurkan batu di saluran kemih dengan menggunakan gelombang kejut ultrasonik sehingga pecahannya dapat dengan mudah lolos dari tubuh. Suatu alat yang disebut lithotripter, berbentuk setengah elips 3 dimensi mengaplikasikan sifat-sifat dari titik fokus elips, digunakan untuk mengumpulkan gelombang ultrasonik pada satu titik fokus untuk dikirimkan ke batu ginjal yang terletak di titik fokus lainnya. Jika lithotripter tersebut memiliki panjang (sumbu semi mayor) 16 cm dan berjari-jari (sumbu semi minor) 10 cm, seberapa jauh dari titik puncak seharusnya batu ginjal tersebut diposisikan agar diperoleh hasil yang maksimal?

Pembahasan:

 Dari soal, kita dapatkan panjang sumbu semi mayornya adalah q = 16, sehingga q² = 16² = 256 dan panjang sumbu semi minornya adalah p = 10, sehingga p² = 10² = 100. Dengan menggunakan persamaan fokus,

Sehingga, jarak titik puncak dengan titik fokus di mana batu ginjal diposisikan dapat ditentukan sebagai berikut.

Jadi, agar diperoleh hasil yang maksimal, batu ginjal tersebut seharusnya terletak pada jarak 28,49 dari titik puncak lithotripter

3. Jembatan-jembatan tertentu memiliki pintu air yang berbentuk setengah elips, seperti yang ditunjukkan oleh gambar berikut.

Tentukan persamaan elips yang membentuk masing-masing pintu air tersebut apabila lebar dan ketinggian pintu air tersebut secara berturut-turut adalah 30 meter dan 8 meter. Berapakah ketinggian titik pada busur elips tersebut yang terletak 9 meter di kanan masing-masing titik pusat pintu air tersebut?

Pembahasan:

 Karena lebar dari pintu air tersebut adalah 30 meter, maka panjang sumbu mayornya adalah 2p = 30. Sehingga diperoleh p = 30/2 = 15. Sedangkan tinggi pintu airnya 8 meter, maka panjang sumbu semi minornya adalah q = 8. Dengan memisalkan titik pertemuan kedua elips tersebut sebagai titik asal, maka titik pusat dari elips sebelah kiri dan sebelah kanan secara berturut-turut adalah (–15, 0) dan (15, 0). Sehingga, persamaan elips yang sebelah kiri dapat ditentukan sebagai berikut.

Sedangkan persamaan elips yang sebelah kanan dapat ditentukan seperti berikut.

 Sehingga, ketinggian titik yang berada 9 meter di kanan titik pusat elips kiri dapat ditentukan sebagai berikut.

Sehingga, ketinggian titik tersebut adalah 6,4 meter. Dengan cara yang sama, kita juga menghasilkan ketinggian 6,4 meter untuk titik pada elips sebelah kanan.

4. Suatu jembatan yang berbentuk elips dibangun di atas jalan raya. Panjang dan ketinggian busur elips jembatan tersebut secara berturut-turut adalah 10 meter dan 6 meter. Apakah truk barang yang lebar dan tingginya secara berturut-turut 5 meter 5,5 meter dapat melewati jembatan tersebut tanpa menyebabkan kerusakan?

Pembahasan:

 Karena panjang busur elips tersebut 10 meter, maka kita peroleh 2p = 10 sehingga p = 10/2 = 5. Sedangkan tinggi dari busur elips tersebut adalah 6 meter, maka q= 6 meter. Dengan menganggap titik pusat elips sebagai titik asal, maka persamaan elips tersebut adalah

Agar jembatan tersebut dapat dilewati oleh kendaraan secara maksimal, maka kendaraan tersebut harus berada tepat di tengah-tengah jembatan tersebut. Selanjutnya, kita dapat menentukan ketinggian maksimal kendaraan yang dapat masuk, yang bergantung dengan lebar dari kendaraan tersebut.

Karena lebar truk tersebut 5 meter, maka kita harus menentukan y untuk x = 5/2 = 2,5, yaitu ketinggian maksimum untuk titik 2,5 meter di kiri dan kanan titik pusat elips

Karena tinggi truk barang tersebut 5,5 meter dan ketinggian maksimum jembatan pada titik 2,5 meter di kanan dan kiri titik pusatnya adalah 5,20 meter, maka truk barang tersebut tidak akan bisa melewati jembatan yang dimaksud.

5. Luas dari suatu elips dapat ditentukan oleh rumus L = πpq, dengan p dan q secara berturut-turut adalah jarak horizontal dan vertikal titik pusat dengan kurva elips. Tentukan luas elips yang memiliki persamaan 16x² + 9y² = 144.

Pembahasan:

 Diketahui suatu persamaan elips 16x² + 9y² = 144, sehingga

 Dari perhitungan di atas kita memperoleh p = 3 dan q = 4. Grafik elips tersebut dapat ditunjukkan oleh gambar berikut.

Sehingga, luas dari elips di atas dapat ditentukan sebagai berikut.

Jadi, luas dari elips yang memiliki persamaan 16x² + 9y² = 144 adalah 37,68 satuan luas.