Matriks ordo 3x3

TUGAS 3 CARA MENYELSAIKAN MATRIKS ORDO 3X3

Carilah invers matriks 3×3 yaitu A = 

Penyelesaian :

Susun matriks sedemikian sehingga seperti dibawah ini.

Matriks disebelah kiri adalah matriks A dan sebelah kanan adalah matriks identitas. Kemudian lakukan Operasi Baris Elementer sedemikan sehingga matriks sebelah kiri menjadi matriks identitas dan matriks identitas (pada sebelah kanan) yang akan menjadi invers matriks tersebut.baris kedua : B₂ + (-2B₁) [artinya baris kedua dijumlahkan dengan -2 kali baris pertama]

1. baris ketiga : B₃ + (-B₁) [artinya baris kedua dijumlahkan dengan -1 kali baris pertama]

   
2. baris ketiga : B₃ + 2B₂ [artinya baris ketiga dijumlahkan dengan 2 kali baris kedua]

   
3. baris ketiga : B₃ x (-1) [artinya baris ketiga dikali dengan -1]

   
4. baris kedua : B₂ + 3B₃ [artinya baris kedua dijumlahkan dengan 3 kali baris ketiga]baris pertama : B₁ + (-3B₃) [artinya baris pertama dijumlahkan dengan -3 kali baris ketiga]
   

   
5. baris pertama : B₁ + (-2B₂) [artinya baris pertama dijumlahkan dengan -2 kali baris kedua]
6. 

   

Karena matriks kiri sudah terbentuk menjadi matriks identitas, maka invers dari matriks A adalah A^-1 = 

Matriks Tugas 2

• Pengertian Matriks

Matriks adalah suatu kumpulan besaran (variabel dan konstanta) yang tersusun dalam baris dan kolom berbentuk persegi panjang. Matriks merupakan suatu cara visualisasi variabel yang merupakan kumpulan dari angka-angka atau variabel lain, misalnya vektor. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur. Pemanfaatannya misalnya dalam menjelaskan persamaan linier, transformasi koordinat, dan lainnya. Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan didekomposisikan.

Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital ditebalkan (misal matriks A, dituliskan dengan A). Sebagai contoh matriks, perhatikan tabel yang memuat informasi biaya pengiriman barang dari 3 pabrik ke 4 kota berikut ini:

  

Pabrik	Kota
	Kota 1	Kota 2	Kota 3	Kota 4
Pabrik 1	5	2	1	4
Pabrik 2	2	3	6	5
Pabrik 3	7	6	3	2

Tabel di atas jika disajikan dalam bentuk matriks akan menjadi seperti berikut:

	Kolom1	Kolom2	Kolom3	Kolom4
	5	2	1	4	Baris1
A =	2	3	6	5	Baris2
	7	6	3	2	Baris3

Matriks di atas, kita sebut saja matriks A, memiliki tiga baris yang mewakili informasi Pabrik (1, 2, dan 3) dan empat kolom yang mewakili informasi Kota (1, 2, 3, dan 4). Sedangkan informasi biaya pengiriman dari masing-masing pabrik ke tiap-tiap kota, diwakili oleh perpotongan baris dan kolom. Sebagai contoh, perpotongan baris 1 dan kolom 1 adalah 5, angka 5 ini menunjukkan informasi biaya pengiriman dari pabrik 1 ke kota 1, dst. Secara umum, bentuk matriks di atas dapat dituliskan seperti berikut:

	a11	a12	a13	a14
A =	a21	a22	a23	a24
	a31	a32	a33	a34

dimana, pada notasi elemen matriks, angka sebelah kiri adalah informasi baris sedangkan angka di kanan adalah informasi kolom, contoh a23 berarti nilai yang diberikan oleh baris ke-2 dan kolom ke-3.

Setiap bilangan pada matriks disebut elemen(unsur) matriks. Letak suatu unsur matriks ditentukanoleh baris dan kolom di mana unsur tersebut berada. Misalnya, pada matriks di atas unsur 25 trletak pada baris ke-3 dan pada kolom ke-2. Suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital  A , B , C ,. . . .  dan seterusnya, sedangkan unsur matriks dinyatakan dengan huruf kecil a, b , c , . . ., dan seterusnya.

 Contoh :

Matriks  A  mempunyai  dua  baris  dan dua kolom. Oleh karena itu kita katakan bahwa matriks A  berordo  2 x 3 ditulis  A2x3 atau  ( a23 ) .Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom dalam matriks tersebut.

• Jenis-jenis Matriks

Jenis-jenis matriks dapat dibagi berdasarkan ordo dan elemen / unsur dari matriks tersebut.* Berdasarkan ordo Matriks dapat di bagi menjadi beberapa jenis yaitu : 

• Matriks Bujursangkar adalah matriks yang memiliki ordo n x n atau banyaknya baris sama dengan banyaknya  kolom yang terdapat dalam mtriks tersebut. Matriks ini disebut juga dengan matriks persegi berordo n.

          Contoh : 

• Matriks Baris adalah Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris

          Contoh :    A =  ( 2  1  3  -7 )

• Matriks Kolom adalah  Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom.

          Contoh :   

                            

• Matriks Tegak  adalah  suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom.

          Contah :

• Matriks datar adalah Matriks  yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom.

       Contoh :

* Berdasarkan elemen-elemen penyusunnya matriks  dapat di bagi menjadi beberapa jenis yaitu :

• Matriks Nol adalah Suatu matriks   yang setiap unsurnya 0 berordo  m x n, ditulis dengan huruf  O. 

        contoh : 

• Matriks Diagonal adalah  suatu matriks bujur sangkar yang  semua unsurnya , kecuali unsur-unsur pada diagonal utama adalah nol.

       Contah :  

• Matriks Segi Tiga adalah  suatu matriks bujur sangkar yang unsur-unsur dibawah atau diatas diagonal utama semuanya 0 .

       Contoh : 

       Dimana Matriks C disebut matriks segi tiga bawah dan matriks D disebut matriks segitiga atas.

• Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya sama.

       Contoh : 

• Matriks Identitas atau Matriks Satuan adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya satu ditulis dengan huruf  I.

       Contoh :

• Matriks Simetri adalah  suatu matriks bujur sangkar yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j  sama dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i sehingga aij = aji .

       Contoh : 

Pentingnya Himpunan

Himpunan Matematika

Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna.
Teori himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abad ke-19, sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika diturunkan.

Apakah definisi himpunan? Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau obyek dengan definisi batasan yang jelas. Jadi sekumpulan benda atau obyek yang tidak ada batasan jelas bukan merupakan himpunan. Contohnya:

1. Kumpulan ank-anak nakal (nakal tidak jelas batasannya),

2. Kumpulan kue-kue enak (enak tidak ada batasannya).

Contoh untuk sebuah himpunan misalnya:

1. Kumpulan hewan berkaki empat (hewan berkaki empat jelas batasannya)

2. Kumpulan kendaraan beroda dua (kendaraan beroda dua jelas batasannya)

• Lambang suatu himpunan

Himpunan bisa dilambangkan dengan tanda kurawal: "{}" ataupun diberi nama dengan huruf kapital, contohnya : A, B, C, D, ..., Z.

Adapun jenis-jenis himpunan tersebut adalah:

• Himpunan berhingga: himpunan berhingga adalah himpunan yang jumlah anggotanya dapat dihitung. Contoh: {bilangan genap kurang dari 20}
• Himpunan tak berhingga: himpunan tak berhingga adalah himpunan yang jumlah anggotanya tidak dapat dihitung atau tidak terbatas. Contoh B = {bilangan cacah}
• Himpunan kosong: himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Contoh: {bilangan asli antara 1 dan 2}
• Himpunan semesta: himpunan semesta adalah himpunan dari semua objek yang sedang dibicarakan atau himpunan yang mengandung semua anggota dari himpunan-himpunan yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta ditulis dengan simbul S. Contoh D = {3, 5, 7}, maka himpunan semestanya ditulis S = {bilangan prima} atau S = {bilangan ganjil}, dan sebagainya.

• Sifat- Sifat dari Operasi Himpunan :

1. A ∪ A = A
   A ∩ A = A
   A-A = ∅
   A+A = ∅
2. A ∪ B = B ∪ A
   A ∩ B = B ∩ A
   A + B = B + A
3. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
   A ∩ (B ∩ C) =  (A ∩ B) ∩ C
4. Jika A ⊂ B maka berlaku
   A ∪ B = B
   A ∩ B = A
   A – B = ∅
   A + B = B – A
5. Jika A dan B saling Lepas maka
   A ∩ B = ∅
   A – B = A
   A + B = A ∪ B

• Macam-macam Himpunan

     Macam-macam Himpunan :

1. Himpunan berhingga ( finite set ) yaitu himpunan yang jumlah elemennya berhingga. Contoh :

A = { x ê x  adalah 3 bilangan  ganjil pertama } = { 1, 3, 5 }

B = { x ê 5 < x < 15 ,  x = bilangan genap } =  { 6, 8, 10, 12, 14 } 

2. Himpunan tak berhingga ( infinite set ), yaitu himpunan yang jumlah elemennya tidak berhingga.

Contoh :

A = { x ç x  adalah bilangan genap >  2 } = { 4, 6, 8, 12, 14, ……… }  

B = { x ç x  adalah bilangan asli > 5 } = { 6, 7, 8, 9, 10, ……..…… }  

3. Himpunan kosong ( void set ), yaitu himpunan yang tidak memiliki elemen.

Contoh :

E = { x ê x2 = 16 , x  adalah ganjil } = {     }   atau   f

  

4. Himpunan Ekivalen ( kesamaan 2 himpunan ), yaitu himpunan yang memiliki  jumlah elemen/kardinalitas yang sama.

Contoh :

Jika A  =  { 2, 3, 1, 19, 5} dan B = { i, q, b, a, l } maka  A ~ B karena n(A) = n(B) = 5     

5.  Himpunan Bagian (subset), yaitu himpunan yang semua elemennya ada pada himpunan yang lain.

Contoh :

Jika A  =  { 3, 4, 5, 6 } dan B = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } maka  A Ì B  ( A subset dari B ), sedangkan  B É A  ( B superset dari A) karena B mengandung semua elemen dari A.

6.  Himpunan saling lepas / asing / disjoint, yaitu himpunan yang elemen-elemennya berbeda.

Contoh :

Jika A  = { 6, 7, 8, 9  } dan B = { 16, 17, 18, 19 } maka  A  | |  B

7. Himpunan Semesta ( Universal set ), yaitu himpunan yang mencakup semua himpunan yang sedang dibicarakan.

Contoh :

Jika A  =  {1, 2, 3, 4 } , B = {5, 6, 7, 8} dan  C = { 9, 10, 11, 12,}

maka himpunan semestanya N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,} 

8. Himpunan Komplemen, yaitu himpunan yang elemen-elemennya tidak ada di himpunan tersebut tapi ada di himpunan semestanya.

Contoh :

Jika A = { bilangan bulat positif}, B  =  {1, 2, 3, 4, 5 } dan

C = {1, 2, 3,...} maka himpunan komplemen dari C adalah Cc = {4, 5, 6 ...} dan himpunan komplemen dari B adalah Bc =  { 6, 7, 8 … }

9. Himpunan Keluarga / Set of  Set, yaitu himpunan yang elemen-elemennya berupa himpunan.

Contoh :

     A  =  {{2,4}, {1,5}, {2,6,7}} ……..  Û Himpunan keluarga

     B  =  {{2,4},  1, 5 , {2,6,7}} ……… Û Bukan Himpunan Keluarga

10 .Himpunan Power Set / Kuasa, yaitu himpunan yang elemen-elemennya merupakan subset dari himpunan yang bersangkutan

     Jika jumlah subset dari sebuah himpunan dengan n elemen = 2n maka jumlah elemen himpunan kuasa juga sama dengan 2n.

     Contoh :

     A =  { 2, 4 } maka himpunan bagiannya ada 22 = 4, yaitu :

{ 2  }  Ì  {2, 4}, { 4  }  Ì  {2, 4}, {2, 4}  Ì  {2, 4,}, {   }  Ì  {2, 4} maka himpunan kuasa A = {2,4}  adalah {{2},{4},{2,4},{  }}