SOAL-SOAL ELIPS

1. Di Washington D.C., terdapat taman Ellipse yang terletak di antara Gedung Putih dan Monumen Washington. Taman tersebut dikelilingi oleh suatu jalan yang berbentuk elips dengan panjang sumbu mayor dan minornya secara berturut-turut adalah 458 meter dan 390 meter. Apabila pengelola taman tersebut ingin membangun air mancur pada masing-masing fokus taman tersebut, tentukan jarak antara air mancur tersebut.

Pembahasan:

 Karena panjang dari sumbu mayornya 2p = 458 maka kita peroleh p = 458/2 = 229 dan p² = 229² = 52.441. Sedangkan panjang sumbu minornya 2q = 390, sehingga q = 390/2 = 195 dan q² = 195² = 38.025. Untuk menentukan f, kita dapat menggunakan persamaan fokus.

Jadi, jarak antara kedua air mancur tersebut adalah 2(120) = 240 meter.

    Litotripsi merupakan suatu prosedur medis yang dilakukan untuk menghancurkan batu di saluran kemih dengan menggunakan gelombang kejut ultrasonik sehingga pecahannya dapat dengan mudah lolos dari tubuh. Suatu alat yang disebut lithotripter, berbentuk setengah elips 3 dimensi mengaplikasikan sifat-sifat dari titik fokus elips, digunakan untuk mengumpulkan gelombang ultrasonik pada satu titik fokus untuk dikirimkan ke batu ginjal yang terletak di titik fokus lainnya. Jika lithotripter tersebut memiliki panjang (sumbu semi mayor) 16 cm dan berjari-jari (sumbu semi minor) 10 cm, seberapa jauh dari titik puncak seharusnya batu ginjal tersebut diposisikan agar diperoleh hasil yang maksimal?

Pembahasan Dari soal, kita dapatkan panjang sumbu semi mayornya adalah q = 16, sehingga q² = 16² = 256 dan panjang sumbu semi minornya adalah p = 10, sehingga p² = 10² = 100. Dengan menggunakan persamaan fokus,

Sehingga, jarak titik puncak dengan titik fokus di mana batu ginjal diposisikan dapat ditentukan sebagai berikut.

Jadi, agar diperoleh hasil yang maksimal, batu ginjal tersebut seharusnya terletak pada jarak 28,49 dari titik puncak lithotripter.

3.       Jembatan-jembatan tertentu memiliki pintu air yang berbentuk setengah elips, seperti yang ditunjukkan oleh gambar berikut.

Tentukan persamaan elips yang membentuk masing-masing pintu air tersebut apabila lebar dan ketinggian pintu air tersebut secara berturut-turut adalah 30 meter dan 8 meter. Berapakah ketinggian titik pada busur elips tersebut yang terletak 9 meter di kanan masing-masing titik pusat pintu air tersebut?

Pembahasan Karena lebar dari pintu air tersebut adalah 30 meter, maka panjang sumbu mayornya adalah 2p = 30. Sehingga diperoleh p = 30/2 = 15. Sedangkan tinggi pintu airnya 8 meter, maka panjang sumbu semi minornya adalah q = 8. Dengan memisalkan titik pertemuan kedua elips tersebut sebagai titik asal, maka titik pusat dari elips sebelah kiri dan sebelah kanan secara berturut-turut adalah (–15, 0) dan (15, 0). Sehingga, persamaan elips yang sebelah kiri dapat ditentukan sebagai berikut.