Pentingnya Himpunan

Himpunan Matematika

Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna.
Teori himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abad ke-19, sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika diturunkan.

Apakah definisi himpunan? Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau obyek dengan definisi batasan yang jelas. Jadi sekumpulan benda atau obyek yang tidak ada batasan jelas bukan merupakan himpunan. Contohnya:

1. Kumpulan ank-anak nakal (nakal tidak jelas batasannya),

2. Kumpulan kue-kue enak (enak tidak ada batasannya).

Contoh untuk sebuah himpunan misalnya:

1. Kumpulan hewan berkaki empat (hewan berkaki empat jelas batasannya)

2. Kumpulan kendaraan beroda dua (kendaraan beroda dua jelas batasannya)

• Lambang suatu himpunan

Himpunan bisa dilambangkan dengan tanda kurawal: "{}" ataupun diberi nama dengan huruf kapital, contohnya : A, B, C, D, ..., Z.

Adapun jenis-jenis himpunan tersebut adalah:

• Himpunan berhingga: himpunan berhingga adalah himpunan yang jumlah anggotanya dapat dihitung. Contoh: {bilangan genap kurang dari 20}
• Himpunan tak berhingga: himpunan tak berhingga adalah himpunan yang jumlah anggotanya tidak dapat dihitung atau tidak terbatas. Contoh B = {bilangan cacah}
• Himpunan kosong: himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Contoh: {bilangan asli antara 1 dan 2}
• Himpunan semesta: himpunan semesta adalah himpunan dari semua objek yang sedang dibicarakan atau himpunan yang mengandung semua anggota dari himpunan-himpunan yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta ditulis dengan simbul S. Contoh D = {3, 5, 7}, maka himpunan semestanya ditulis S = {bilangan prima} atau S = {bilangan ganjil}, dan sebagainya.

• Sifat- Sifat dari Operasi Himpunan :

1. A ∪ A = A
   A ∩ A = A
   A-A = ∅
   A+A = ∅
2. A ∪ B = B ∪ A
   A ∩ B = B ∩ A
   A + B = B + A
3. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
   A ∩ (B ∩ C) =  (A ∩ B) ∩ C
4. Jika A ⊂ B maka berlaku
   A ∪ B = B
   A ∩ B = A
   A – B = ∅
   A + B = B – A
5. Jika A dan B saling Lepas maka
   A ∩ B = ∅
   A – B = A
   A + B = A ∪ B

• Macam-macam Himpunan

     Macam-macam Himpunan :

1. Himpunan berhingga ( finite set ) yaitu himpunan yang jumlah elemennya berhingga. Contoh :

A = { x ê x  adalah 3 bilangan  ganjil pertama } = { 1, 3, 5 }

B = { x ê 5 < x < 15 ,  x = bilangan genap } =  { 6, 8, 10, 12, 14 } 

2. Himpunan tak berhingga ( infinite set ), yaitu himpunan yang jumlah elemennya tidak berhingga.

Contoh :

A = { x ç x  adalah bilangan genap >  2 } = { 4, 6, 8, 12, 14, ……… }  

B = { x ç x  adalah bilangan asli > 5 } = { 6, 7, 8, 9, 10, ……..…… }  

3. Himpunan kosong ( void set ), yaitu himpunan yang tidak memiliki elemen.

Contoh :

E = { x ê x2 = 16 , x  adalah ganjil } = {     }   atau   f

  

4. Himpunan Ekivalen ( kesamaan 2 himpunan ), yaitu himpunan yang memiliki  jumlah elemen/kardinalitas yang sama.

Contoh :

Jika A  =  { 2, 3, 1, 19, 5} dan B = { i, q, b, a, l } maka  A ~ B karena n(A) = n(B) = 5     

5.  Himpunan Bagian (subset), yaitu himpunan yang semua elemennya ada pada himpunan yang lain.

Contoh :

Jika A  =  { 3, 4, 5, 6 } dan B = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } maka  A Ì B  ( A subset dari B ), sedangkan  B É A  ( B superset dari A) karena B mengandung semua elemen dari A.

6.  Himpunan saling lepas / asing / disjoint, yaitu himpunan yang elemen-elemennya berbeda.

Contoh :

Jika A  = { 6, 7, 8, 9  } dan B = { 16, 17, 18, 19 } maka  A  | |  B

7. Himpunan Semesta ( Universal set ), yaitu himpunan yang mencakup semua himpunan yang sedang dibicarakan.

Contoh :

Jika A  =  {1, 2, 3, 4 } , B = {5, 6, 7, 8} dan  C = { 9, 10, 11, 12,}

maka himpunan semestanya N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,} 

8. Himpunan Komplemen, yaitu himpunan yang elemen-elemennya tidak ada di himpunan tersebut tapi ada di himpunan semestanya.

Contoh :

Jika A = { bilangan bulat positif}, B  =  {1, 2, 3, 4, 5 } dan

C = {1, 2, 3,...} maka himpunan komplemen dari C adalah Cc = {4, 5, 6 ...} dan himpunan komplemen dari B adalah Bc =  { 6, 7, 8 … }

9. Himpunan Keluarga / Set of  Set, yaitu himpunan yang elemen-elemennya berupa himpunan.

Contoh :

     A  =  {{2,4}, {1,5}, {2,6,7}} ……..  Û Himpunan keluarga

     B  =  {{2,4},  1, 5 , {2,6,7}} ……… Û Bukan Himpunan Keluarga

10 .Himpunan Power Set / Kuasa, yaitu himpunan yang elemen-elemennya merupakan subset dari himpunan yang bersangkutan

     Jika jumlah subset dari sebuah himpunan dengan n elemen = 2n maka jumlah elemen himpunan kuasa juga sama dengan 2n.

     Contoh :

     A =  { 2, 4 } maka himpunan bagiannya ada 22 = 4, yaitu :

{ 2  }  Ì  {2, 4}, { 4  }  Ì  {2, 4}, {2, 4}  Ì  {2, 4,}, {   }  Ì  {2, 4} maka himpunan kuasa A = {2,4}  adalah {{2},{4},{2,4},{  }}